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初中数学教育教学论文

回归三线八角

通过三选手段来作平行线,解决与角有关的数学问题

崇州市崇庆中学初中校区余首成

论文摘 要:本文通过一道作业题如何构筑平行线的话题,从两种不同的角度进行分析,先逐步引导学生修成两种成就:其一是修成"定题型,定方法"的学习方法上的成就,其二是修成"让知识回归到当初出现的本源状态中去"的思维方法上的成就.再因势利导学生在'知行合一"的听闻和数学精神的感悟中,将一粒为明天的理性和情感作准备的种子珍藏到心田深处..

关 键 词:平行线,几何模型,形象化比喻,数学家的创作之路,定题型,定方法回归三线八角,三选手段,坚信,坚守,本源状态,螺旋回归,知行合一,人,数学精神

正文:初一下册的学生在学完了"第二章相交线与平行线"之后,对"三线八角"的概念以及对"平行线的判定和性质"的使用有了一定程度的认识,在教学中可以尝试进行适当的拓展学习,以培养学生的数学思维,真正体现教育要面向学生的未来——注重数学思维的培养与数学精神的熏陶.

上篇

下面笔者选择如下问题作为培养学生相关数学思维的载体.如图已知:DE∥BC,试说明∠AED等于∠A+∠B

<,第一次分析>,:这道题的以知条件是DE∥BC,即已知二直线平行.笔者问学生:"平行线最容易让我们联想到什么"学生较多能回答出:"二直线平行,可得同位角相等,也可得内错角相等,还可得同旁内角互补."

待证问题"∠AED等于∠A+∠B"中涉及到了哪些角我们应不应该在图中去探索这些角与图中其它角的联系或者应不应该在图中去探索这三个角之间存在的联系同学们的回答自然表现的很肯定.

笔者放手十分钟时间让学生去探索,结果有同学用作平行线的方法解决了这个问题,也有同学用小学知识"三角形的内角和为180"解决了这个问题.但更多的同学没有找到问题的解决途径.

<,尝试一>,:笔者开始引导,在现有的图(1)中,∠AED没办法与其他角进行联系,为什么因为它没有处在三线八角的环境中.那么想到这里,同学们应该心生什么样的冲动呢片刻之后,有少数几个同学说出要延长AE,得到图(2),此时由DE∥BC,我们容易得到∠AED等于∠AFC,且大多数同学也能说出理由是:二直线平行,同位角相等,为此则原问题可转化为求证:∠AFC等于∠A+∠B,但此时∠A和∠B依然无法与∠AFC产生联系,可见此路不通.

但有些同学若有所悟,给出了如下的解题思路:∵∠A+∠B+∠AFB等于180°,又∵∠AFC+∠AFB等于180°,∴∠AFC等于∠A+∠B.笔者首先进行了表扬和肯定,然后对学生说:"这种思路完全正确,可以得满分!但我们今天的授课有一个前提是不用'三角形的内角和为180°'的知识".

〈尝试二〉:笔者继续引导,在原有的图(1)中,∠B能直接与其他角联系起来吗不能!为什么因为它没有处在三线八角的环境中.那么为了让∠B能处在三线八角的环境中,我们应该心生什么样的冲动呢很多同学说出要延长DE,得到图(3),此时由DE∥BC可得∠B等于∠AHE,于是问题转化为求证:∠AED等于∠A+∠AHE.笔者又引导说:"如果不使用三角形内角和为180°的知识,那么∠A和∠AHE仍然无法与∠AED产生联系",可见此路不通.

〈尝试三〉:通过图(2)和图(3)的探索后,同学们很容易感觉出阻碍思维继续推进的绊脚石就是∠A,于是师生都共同责怪∠A"不听话",因为它不容易转化成其它角,或说它不容易与其它角发生联系.我们解题之所以如此不顺手,全是因为∠A的位置太古怪,它不像∠B和∠AED那样表现得很"听话".∠B和∠AED生性乖巧,因其顶点本生就处在平行线上,继而极易通过平行线来与其它角取得联系.


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现在为了让∠A也表现出同样的"乖巧性",我们应该心生怎样的冲动呢(有几个同学小声说过点A作平行线)笔者不太满意,又特意提点一番说:"因为∠B和∠AED的顶点在平行线上,所以用起来才会很顺手.而∠A之所以用起来不顺手,全是因为它的顶点不在平行线上,现在为了让∠A用起来顺手一点,我们就应该让∠A的顶点处在什么上"这时终于有更多学生大声说:"处在平行线上!"

好的,现在为了消除∠A给我们带来的痛苦,我们需要过点A作PQ∥DE,得到图(4),此时容易想到:

∠AED等于∠EAQ

等于∠EAB+∠BAQ

等于∠EAB+∠B,可见此路通畅.

笔者请同学们用5分钟时间把解题进程写在草稿本上.

〈问题解决〉5分钟过后,笔者开始引导学生如何把闪烁波动的思绪进行整理(很多同学说自己会想,但不知该怎样写),然后转化为符号语言,呈现为问题的书面解答形式:

证明:过点A作PQ∥DE,∵DE∥BC

∴PQ∥DE∥BC

∴∠AED等于∠EAQ,∠B等于∠BAQ

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∵∠EAQ等于∠EAB+∠BAQ

∴∠AED等于∠EAB+∠B

〈得出经验〉本题的解答过程呈现完成后,笔者开始引导学生走"数学家的创作之路",正所谓"不经历风雨,怎么见彩虹",既然师生都在本题 同经历了风雨,就一定要生成心灵的彩虹.就本题而言,我们经历了尝试(一),尝试(二),尝试(三)"

学生从深刻的印象中顺口答出"截线是切刀,被截线是两根豇豆."

笔者再问"从三线八角图形的不同顶点任取两个角,这两个角的边有什么特征"

学生也快速作答"两个角共有四条边,其中必有两条边处在同一条直线上,该直线就是一把切刀,剩下来的两条边分别所在的直线就是两根豇豆."

笔者又问:"用什么方法来减轻复杂图形对我们的视觉干扰"

学生答:"一提,二看,三作答."

笔者又问:"同位角,内错角,同旁内角各有什么形状上的特征"

学生还是能比较快速作出回答:"同位角是'F'形,内错角是'Z'字形,同旁内角是'框框形'."

既然如此,我们在解决有关"三线八角"的问题时,如果图中找不到现存的"三线八角"结构,那么我们就应该动手去创造,去修补"三线八角"的图形结构,以便让问题中所涉及到的角回归到"三线八角"的环境当中去.

〈探索(一):确定"刀豆",教师引导,学生学习〉待证问题"∠AED等于∠A+∠B"中涉及到三个角,若抓住∠AED来进行研究,我们会发现在图(1)中,∠AED找不到它的同伴,原因是∠AED没有处在"三线八角"的环境中,为了让∠AED能找到它的同伴,我们就要把∠AED的"家"修补完整,让它回归三线八角的"本源之家".

我们可观察到∠AED有两条边:ED和EA(对于三线八角的图形结构来讲,这两条边中必有一条边是切刀,另一条边是豇豆),所以∠AED若要想回"家",则我们必须帮助它完成两件事:

第一件事是在以下两种配置中作出一个选择:

甲配置∠AED乙配置∠AED

第二件事是在所选配置的刀线上作出另一根豇豆线,使平行于已有的旧豇豆.

〈第一站〉帮∠AED作出甲选择:则随后需要在切刀线ED上寻找一个点来作旧豇豆EA的平行线(设这根新作的豇豆线为KN,我们作KN∥EA)"呢

尽管此时的∠AED可转化为"∠KMD或∠EMN或∠MNC",但这些角始终与∠A和∠B相去甚远,无法及时联系,可见此路不通.

〈第二站〉把豇豆KN沿着切刀DE继续向右平行推进,去寻找适合的点位生根.当豇豆与旧豇豆AE重合时,能发现什么现象

我们发现本想为∠AED预设的"家"没有修复成功,所以此路不通.

但此时我们也会很意外地发现∠AED处在另一个"家"中:DE和BC是两根平行的豇豆,KN是切刀.此时,由DE∥BC可得∠AED等于∠ANC,但待证问题还是不能解决,所以此路不通.

〈第三站〉先把∠AED的切刀DE延伸"加长",交AB于M,我们把豇豆KN沿着切刀DE继续向右平行推进,当KN经过点M时,得到图(8).此时,由DM∥BC可得:∠AME等于∠B,由KN∥AE可得:∠AMK等于∠A,且∠KME等于∠AED

于是可知:∠AED等于∠KME

等于∠AME﹢∠AMK

等于∠A﹢∠B,可见此路通畅.

〈第四站〉把∠AED的刀线DE延伸,让豇豆KN在刀线DE上(保持KN∥AE)继续向右平行推进,当KN恰好经过点B时,得到图(9),此时由KB∥AE可知:∠A等于∠ABK,∠AED等于∠KME,又由DM∥BC知:∠KME等于∠KBC等于∠ABK+∠ABC,于是易证:∠AED等于∠A+∠ABC,可见此路也通畅.

〈第五站〉若豇豆KM(以平行于旧豇豆AE的姿态)在刀线DE上继续向右推进,得到图(10),此时∠AED回归到了三线八角的环境:平行的直线AE和KM是豇豆,直线DE是刀,虽然∠KME等于∠AED,但∠KME与∠A和∠B仍然不易联系,所以此路可暂不作考虑.

〈思维整理(一)〉刚才我们经历了从图(6)到图(10)的五次探索活动,这五次探索活动都有一个心理原因在支撑我们,这个原因就是要把∠AED的"三线八角"结构修补完整.我们的具体作法是:

(1)在∠AED的两条边中确定一刀,一豇豆(如DE作刀,AE作豆),

(2)在刀线(直线DE)上选择合适的点位,来种出另一根新豇豆,使它平行于旧豇豆AE,

(3)新豇豆(直线KM)在刀线(直线DE)上平行推进,直至找到合适的点位,安定下来,让破题思维生根发芽.

〈探索(二):刀豆互换,教师放手,学生动手〉前面的五次探索活动,我们都是选择"甲"配置,现在我们进行"刀豆互换"选择"乙"配置来尝试一下.

先抓出∠AED那么

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参考文献:

数学教学策略艺术

导学式教学方法在小学数学教育中的应用

数学教学中如何提高学生积极性

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